Действительно, в различных текстах словосочетание (по) взрослому пишут по-разному: раздельно и через дефис. В этой связи возникает вопрос, какой вариант правильный и давайте разберемся в этом.
Первоначальной формой, этого слова, является прилагательное "взрослый", которое, безусловно, может писаться с окончанием «-ому» и с предлогом «по». Следовательно, оно может писаться раздельно, правда, после него всегда должно идти существительное в дательном падеже.
Примеры:
Сейчас я хочу тебя спросить по взрослому вопросу (чему?).
В тоже время, по правилам русского языка, от прилагательного взрослый с помощью окончания «-ому» и морфемы «по», может образовываться наречие, которое уже отвечает на вопрос «как?» и пишется только через дефис. Признаком наречия является то, что после него нет существительных в дательном падеже.
Примеры предложений:
Решать (как?) по-взрослому (что?) вопросы я еще не умею.
Давайте в этот раз все решим (как?) по-взрослому.