Слово "вертеться" отвечает на вопрос: Что делать? и является неопределённой формой глагола.
Слово "вертится" отвечает на вопрос: Что делает? и является глаголом настоящего времени.
Таким образом, оба слова существуют. Стоит отметить, что это две основы одного и того же глагола. Соответственно, оба варианта написания верны.
Вертеться
Чтобы правильно написать данное слово, необходимо задать вопрос, на который оно отвечает (что делать?). Так как в вопросе присутствует мягкий знак, значит и слово "вертеться" пишется с мягким знаком.
Вертится
Чтобы проверить написание глагола, нужно также задать вопрос (что делает?). В вопросе отсутствует мягкий знак, значит слово "вертится" пишется без мягкого знака.
Предложения
Заведённая юла будет вертеться ещё очень долго. (Что делать?)
Этот щенок целый день вертится у меня под ногами. (Что делает?)
Примеряя новое платье, Марина продолжала вертеться возле зеркала. (Что делать?)
В моей голове вертится огромное количество мыслей. (Что делает?)