Для определения правильного написания данного словосочетания, необходимо запомнить некоторые правила русского языка.
Правило гласит, что в географических, исторических, территориальных названиях, в названиях морей, озер, рек, гор, стран, областей, материков, возвышенностей, населенных пунктов, улиц и т. п. принято писать с прописной (большой) буквы все слова, кроме служебных слов, слов года и родовых понятий (остров, море, гора).
Однако нарицательные существительные в составных географических названиях также пишутся с прописной буквы, если они используются в своем непрямом значении. Поэтому Дальний Восток пишется с большой буквы (оба слова). «Дальний» пишется с прописной, так как является первым словом словосочетания, обозначающего название стороны света (география), а «Восток», так как используется в непрямом значении.
Примеры.
Никита всегда мечтал отправиться на Дальний Восток.
Она многое повидала, исколесила весь Дальний Восток.
Экономика Дальнего Востока претерпевала серьезные изменения.