Подобрать проверочное слово в данном случае нельзя, тогда как можно проверить правописание? В корнях "дох", "дых", "дыш", где чередуются гласные "о" и "ы", если есть суффикс "н" с ударением пишется буква "а", без ударения - "о". Например: дыхание, вдохнуть, продохнуть и прочие.
Поэтому нужно писать "отдохнуть", а слово "отдахнуть" орфографические неверное. В современных учебниках это правило практически не встречается, но раньше слова "вздох", "передохнуть", "отдых" считали однокоренными и использовали в значении: восстановить энергию, передохнуть после трудного дня.
Ниже приведены несколько примеров предложений с правильным написанием глагола "отдохнуть":
Мы могли бы поехать в деревню к бабушке, чтобы отдохнуть от городской суеты и немного поправить здоровье.
Отдохнуть можно в любое другое время, а сейчас необходимо как следует поработать и подготовиться к выступлению.
Ночью путникам практически не удалось отдохнуть, ведь приходилось постоянно сторожить лагерь от непрошеных гостей.