Правила орфографии допускают оба варианта написания. Всё будет зависеть от контекста конкретного предложения, в котором используется слово.
Если имеется в виду оказание помощи кому-либо, тогда нужно писать глагол "поддержать" с удвоенной буквой "д". Если разобрать слово по составу, то можно увидеть, откуда она берется. Приставка "под" и корень "держ" образуют двойную "д" на стыке.
Примеры предложений:
Поддержать Валентина перед конкурсом пришел практически весь класс.
Даша очень волновалась из-за предстоящих экзаменов, поэтому мама всячески пыталась ее поддержать.
Глагол "подержать" имеет совершенно другой смысл. Он используется в речи для обозначения следующих действий: взять что-либо, оставить какой-либо предмет до определенного времени и прочие. В этом случае "подержать" пишется с одной буквой "д", так как "по" - это приставка, а "держ" - корень.
Примеры предложений:
Вы могли бы подержать эту книгу до моего прихода, я боюсь что её могут забрать раньше.
В рецепте сказано, что рагу нужно подержать на огне в течение 40 минут.