Как напишет грамотный человек: «я чищу обувь» или «я чисчу обувь»? Конечно, «чищу». Без вариантов.
Почему же от инфинитива глагола «чистить» образуется форма первого лица единственного числа настоящего времени «чищу»? Это связано с историческими процессами, происходившими в языке.
Звук [ш'] может передаваться не только буквой «щ», но и сочетаниями «зч», «сч», «стч» и др. Важно знать чередования согласных в современном русском языке, чтобы правильно уметь применять орфографические правила. Например, пустить ‒ пущу, блестеть ‒ блещет, страсть ‒ стращать, упускать ‒ упущение, воск ‒ вощить и др.
В словах «чистить» и «чищу» происходит чередование ст / щ в одной морфеме (в корне). «Чисчу» ‒ недопустимый вариант, противоречащий нормам русского языка.
Примеры предложений.
После школы я написал маме сообщение, что чищу картошку для супа, а потом буду делать домашнее задание по математике.
Я регулярно чищу дисплей ноутбука недорогим специальным антистатическим средством.
Я чищу яблоки, потому что не люблю их кислую кожуру.