Слово «благодарю» пишется через А. Для проверки гласной без ударенние в корне слова, необходимо подобрать однокоренное слово, где на эту букву упадет ударение. В случае со словом «благодарю» проверочными словами будут дАр, или благодАрность. Примеры:
БлагодАрю вас за хорошую работу (проверяем словом «благодарность»). ЧИновник инспЕктирует испОлнение законов (проверяем словами: чИн, инспЕктор, испОлнить). По праздникам мы получаем премии (проверяем словом премИровать).
Если в нашем слове две гласные без ударения в корне, на каждую из них нужно подобрать проверочное слово. Пример:
В моем хОлОдильнике иного капусты (проверочные слова: хОлод, холОдный).
Если проверить написание гласной без ударения в корне слова таким способом не получается, правописание необходимо запомнить: зАкон, сОбака, кАпуста.
Кроме того, существуют корни с чередованием гласных: -гос- и –кас-, -бер- и –бир-, -стел- и –стил-, -блес- и –блист-, -рас- и –рост-, -гор- и -гар- и другие. Их написание подчиняется другим правилом и не проверяется ударением.