Каждый из этих вариантов может быть как верным, так и неправильным выбором. Тут всё зависит от контекста конкретного предложения, так как каждый вариант имеет своё смысловое значение.
Развиваться
Произошло от "развитие", оно же и является проверочным словом. Означает рост, увеличение, усиление чего-либо.
Развеваться
Подразумевает под собой колыхание, движение под действием чего-либо (ветра, например). Проверочным словом выступает "веять".
Вывод: для начала устанавливаем смысловую нагрузку сомнительного слова, и только потом выбираем проверочное из двух вышеприведенных вариантов.
Примеры употребления в предложениях
С использованием "И" в корне:
- Современные врачи рекомендуют молодым матерям развивать малышей;
- Развивать технологии — первостепенная задача современного прогрессивного общества.
С написанием "Е" в корне:
- Я заметил, что на шпиле башни развевался российский триколор;
- От ветра полы моего плаща начали развеваться, мешая мне идти.