Использование в русском языке слова "не(?)чаянно" говорит о желании и об умении пишущего верно подобрать нужную лексему. Но когда мы начинаем её писать, сразу же возникают сомнения по поводу того, ставить ли пробел после "не" или он там не нужен. В принципе, в русском языке есть слова "чаять", "чаяния", "чаянный", поэтому, казалось бы, употребление слово "не(?)чаянно" без "не" допустимо и существует. Однако же не так. Если какие-то слова, употребляющееся без "не", известны языку, это не всегда говорит о том, что без "не" запросто можно употреблять этот корень в любом морфемном окружении.
Поскольку слова "чаянно" мы в словарях вряд ли найдём, то его и нет. Поэтому правильное написание - нечаянно - признаётся единственно верным. Для запоминания давайте представим себе, что слово "нечаянно" сейчас никак не связанно с чаем, поэтому отделять "чай" от "не" нельзя.
Примеры предложений:
"Маргарита нечаянно разбила чайник для заварки чая, из сервиза подаренного бабушкой, от чего очень огорчилась". Нечаянно" - в значении "случайно.
"Позавчера нечаянно приехали дальние родственники". Мы видим "нечаянно" в значении "неожиданно".