Слово "бешено" является наречием.
В русском языке существует правило о написании "н" и "нн" в наречиях.
Правило
В наречиях пишется такое количество букв "н", сколько и в словах, от которых оно образовано.
Таким образом, чтобы узнать сколько букв писать в том или ином наречии, необходимо составить словообразовательную цепочку.
На этапе составления словообразовательной цепочки, очень важно не ошибиться с её составляющими. Для этого нужно тщательно проверять каждое новое слово в цепочке, определять его часть речи. Также не лишним будет определять способ образования слова. Чаще всего именно на этом этапе проявляются ошибки.
Бесить (глагол несовершенного вида) - бешеный (отглагольное прилагательное) - бешено (наречие).
Наречие "бешено" образовано суффиксальным способом.
Следовательно, наречие "бешено" образовано от отглагольного прилагательного, в котором пишется только одна буква "н". Значит, верно писать бешено.
Предложения
Сердце Марии бешено застучало, когда в класс вошёл новый ученик.
Учёные бешено работали, чтобы сдать проект вовремя.
Водитель бешено мчался по опасному участку дороги.