Чтобы решить, как правильно написать – «трещетка» или «трещотка», сперва следует определить часть речи.
Задаем к слову вопрос: «что?» – «трещотка». Это существительное.
Следующим шагом станет определение части слова, в которой находится орфограмма. Это сложный случай.
Проведем разбор слова по составу. Казалось бы, если подобрать однокоренное «треск», то можно выделить корень треск- с чередованием ск/щ, за ним суффикс -отк- (или -етк-) и окончание а. Однако, согласно справочнику Д. Розенталя, настольной книге учителей русского языка, суффикс в этом слове не выделяется, а искомая орфограмма находится в корне после шипящего Щ.
Написание морфемы регулируется правилом, которое гласит: если можно подобрать слово с чередованием в корне о/е, то писаться будет Е (желудь – желудевый, щеголь – щеголять). Если такое слово не подбирается, то пишется О. К слову «трещотка» подобрать однокоренное существительное с Е после Щ не получится. Следовательно, писать нужно через О.
Примеры:
На ярмарке продавались самодельные дудочки, свистки и трещотки – чистая радость для детей.
Вдали раздавалась трещотка сторожа.
Да что же ты трещотка такая! Помолчи хоть две минуты.