Чтобы разобраться, нужно понять, какая это часть речи.
Так как "не дыша" происходит от глагольного варианта "не дышать", то можно утверждать, что это деепричастие. По правилу все глаголы пишутся с частицей "не" раздельно за исключением тех, что никогда без "не" не встречаются (ненавидеть, недооценивать). Так как деепричастия образовываются от соответствующих глаголов, глагольные правила также применимы и к ним.
Так, "не дыша" будет писаться раздельно вне зависимости от ситуации и контекста.
Например:
1) Тихо, практически не дыша, он прокрался в свою спальню, и только там разулся и снял верхнюю одежду.
2) Мимо болота нужно было проходить быстро, не дыша ядовитыми испарениями.
3) Стоило мне провиниться, мать смотрела на меня осуждающе, не двигаясь и не дыша, словно статуя, на лице которой застыла скорбь.
Отрицательная частица "не" никогда не пишется с деепричастиями слитно, если не является частью слова, без которой его употребление невозможно.