Чтобы правильно написать длинный глагол "по(?)переписываться", не нужно быть большим знатоком русской речи. Достаточно будет выяснить, из каких морфем, стоящих перед корнем, состоит это слово, и могут ли перед ним оказаться какие-нибудь предлоги. Дело в том, что глагол "по(?)переписываться", можно сказать перегружен первой приставкой "по-", которая и явилась причиной нашего затруднения.
Она впрочем имеет определённую смысловую нагрузку, выражающуюся в значении "писать какое-то непродолжительное время человеку и получать от него ответы", а также привнося в глагол оттенок разговорности и некоторой лёгкости.Наш вопрос разрешается таким образом, что приставка "по-", которую мы только что описали, ни при каких обстоятельствах не сможет стать перед нашим глаголом предлогом, то есть отделиться от него. Если мы попробуем искусственно разделить два элемента одного слова и получить результат наподобие "по немного переписываться", то это будет явная речевая ошибка.
"Попереписываться" пишут слитно.
Примеры предложений:
Мы с познакомившимся парнем хотели бы для начала попереписываться в социальных сетях.
Нам нужно попереписываться две или три недели, только тогда мы немного узнаем интересы друг друга.