Имя существительное "не(?)компетентность" может обозначать в различных высказываниях безграмотность, общую необразованность, неосведомленность в том или ином вопросе. Иногда - отсутствие достаточных для решения неких вопросов прав. Но написание этого слова никогда не зависит от перечисленных оттенков лексического значения. Смотреть нужно только на конкретное предложение, в котором мы увидим либо отрицание компетентности, либо утверждение некомпетентности.
В частности, если в высказывании есть противопоставление (например, не компетентность, а безграмотность), то существительное напишем раздельно.
Если предложение содержит явно выраженное отрицание явления (например, вовсе не компетентность), то слово пишется также раздельно.
Если же в высказывании мы рассмотрим утверждение отрицательного явления (например, его некомпетентность), то слово напишем слитно.
Примеры предложений:
Предприятие подвела некомпетентность начальника четвёртого цеха.
На собрании рассматривали вовсе не компетентность Петрокова, а его халатность.
"Не компетентность ли Лукьянова выручила наш машиностроительный завод?". Такие вопросы с частицей "ли" также говорят о раздельном написании.