При написании слова "за(?)переживала" (в значении "начала переживать") нам несложно определить, что оно является глагольной грамматической формой, которая обозначает в соответствующем лице, роде и времени действие. Проверить это можно так: вопрос "что сделала?" выявляет принадлежность данной словоформы к глаголам. В частности - к глаголу "за(?)переживать" (от "переживать").
Поскольку мы не сомневаемся в самостоятельном использовании глагола "переживать" в языке, то можно сделать предварительный вывод, что фрагмент "за", который мы пока не знаем, каким способом написать, может являться теоретически либо приставкой, либо предлогом. Ведь в языке существует "за"-предлог и "за-" приставка".
Чтобы исключить неверное отнесение элемента "за" к предлогам, мы должны вспомнить о том, что перед глаголами предлог стоять не может. Из этого следует, что "за-" - это приставка, то есть часть формы "запереживать". Писать "за переживать" и "за переживала" (раздельно) нельзя. Верное написание - "запереживала"
Примеры предложений:
"Что-то Наташа слишком уж запереживала по такому пустяку".
"Валя вдруг сильно заволновалась, её подруга Настя тоже запереживала".