Во время написания слова "не(?)спешно" мы обязаны обратить своё внимание на три момента. Во-первых, "не(?)спешно" - это наречие на "о", поэтому при выборе между слитным и раздельным написаниями мы можем и должны применить положение, касающееся именно таких наречий. Во-вторых, нужно не забывать о слове "спешно". Его существование в языке однозначно указывает на возможность случаев раздельного написания. И, наконец, в-третьих, - это сигнализирующая роль контекста, в котором слово "не(?)спешно" мы будем использовать.
Если то или иное высказывание позволяет нам наречие "не(?)спешно" заменить синонимом без "не", то написание, это вероятнее всего, станет слитным.
При подразумевающихся или реализованных противопоставлениях в предложении, частица "не" будет от слова "спешно" отделена.
Примеры предложений:
"Неспешно подобравшись к самому краю обрыва, Никита увидел внизу речку со множеством удивительных рыб". Если мы начнём предложение с "медленно подобравшись", то смысл его не изменится, а структура останется такой же чёткой.
"Постарайтесь сегодня работать не спешно, а со старательностью и с аналитическим подходом". Противопоставление слов "не спешно" и "со старательностью", "с подходом" говорит о раздельном написании.