Перед написанием слова "кое(?)какой", в середине которого мы сейчас вместо пробела либо дефиса изобразили знак вопроса, мы определяем его морфологические функции, которые "кое(?)какой" может нести в виде постоянных признаков. Это и будет частью речи, к которой "кое(?)какой" относится.
Частица "кое", которая может присоединяться к началу того или иного слова, добавляет семантику неопределённости, которая может в различных контекстах выражаться в оттенках "неизвестно какой", "уж мы то знаем какой" или "немного, незначительное количество".
Данная частица, которая может встретиться нам в том или ином высказывании в одном из двух вариантов: "кое" или "кой", пишется с последующим словом, фактически входя в его состав семантически, через дефис. Получается неопределённое местоимение. Писать "кое какой" (раздельно) нельзя.
Между данной частицей и словом "какой", если основная часть слова находится в одном из косвенных падежей, может возникнуть и предлог, добавляя дополнительный элемент ко всему слову: "кое у какого", "кое за каким". Тогда дефис отменяется, написание всех трёх элементов становится раздельным, будьте внимательны.
Примеры употребления:
"Захватив с собой кое-какой инвентарь, Зинаида отправилась на огород".
"Кое в каких играх не принимайте участия, так как можно лишиться денег".