Отметив в самом начале, что слово "(в)перемешку" (как? каким образом?) относится в значении "беспорядочно, смешанно" к наречиям, тут же подчеркнём, что отнесённость к наречиям ещё не показывает, слитно нужно писать слово или раздельно. Есть множество случаев, когда они пишутся и через дефис.
Наречие "(в)перемешку" образовано от глагола "перемешать". Нам остаётся понять, является добавленное "в" приставкой или предлогом, чтобы применить потом соответствующее правило.
Оказывается, что если мы отбросим "в", как бы пытаясь идти по пути, обратному словообразованию, мы получим элемент "перемешку", который самостоятельным словом в русском языке не является. Слова "перемешку" нет. Следовательно, букву "в", с которой начинается наречие "вперемешку", можно с уверенностью назвать приставкой, входящей в состав слова.
Таким образом, писать "в перемешку" (раздельно) нельзя.
Примеры предложений:
"В хозяйственную сумку Ивана вперемешку были сложены инструменты и некоторые продукты".
"В кабинете вперемешку звучали звонки то на один, то на другой телефон".