В составе сложносокращённого имени существительного "пед(ы?и?)нститут" находится на втором месте корень "институт", который без первой части слова начинается с гласной "и", не требующей какой-либо проверки и хорошо слышимой.
После присоединения к части "-институт" начального элемента "пед-", мы начинаем после согласной "д" слышать не "и", а "ы". Наша задача сейчас - понять, соответствует ли произношение написанию или нет.Мы знаем правило об изменении начальной гласной "и" в корнях слов на "ы", если перед этим корнем в слове появляется приставка, заканчивающаяся, например, на согласную "д". В нашем случае, элемент "пед-" действительно многим похож на приставку из-за своей трёхбуквенности. Однако, при приведении слова в полный вид мы увидим словосочетание "педагогический институт". То есть элемент "пед-" оказывается не приставкой, а сокращением корня. Поэтому правило, о котором мы выше упомянули, на слово "пединститут" не подействует.
Писать "педынститут" (с "ы" после "д") нельзя. Верно - "пединститут".
Примеры употребления:
"Городской пединститут", "филиал пединститута".