«Одновременно с этим» - наречное выражение, родственное аналогичному «вместе с тем». Они не требуют никакого особого выделения запятыми, потому что не являются вводными.
В сочетании с союзами «и», «а», «но» приобретает значение противопоставления. Запятая между союзом и наречными выражением не ставится.
Обратите внимание: если перед нами сложное предложение и выражение «одновременно с этим» стоит на стыке двух простых в его составе, мы ставим запятую (как правило, перед). Но это связано исключительно с пунктуационным требованием постановки запятой между предложениями внутри сложного.
Читайте по теме: Список вводных слов, которые всегда выделяются запятыми, смотрите здесь. Список ложных вводных слов, которые при всем желании не следует выделять запятыми, можно увидеть тут.
Примеры в устной и письменной речи.
- Гости прибывали и усаживались за стол, одновременно с этим в гостиной развязалась шумная игра в карты.
- Мы молча смотрели друг на друга, боясь испортить долгожданный момент, но одновременно с этим понимали, что пора сделать долгожданное признание.
- Карьеристка, амбициозный бухгалтер, строгий руководитель, она одновременно с этим была волонтером и защитницей бездомных животных.