Разумеется, правильный вариант написания – «по хозяйству». Перед нами предлог с существительным в дательном падеже. Проверить можно так: между предлогом и словом, к которому он относится, можно добавить еще одно слово. Например, «по домашнему хозяйству».
Примеры в устной и письменной речи:
- Я решила остаться у бабушки еще на неделю, чтоб помочь по хозяйству и чуть дольше насладиться летом в деревне.
- Решить вопросы по хозяйству казалось минутным делом, но в этих хлопотах пришлось провести большую часть дня.
- Дел по хозяйству накопилось столько, что пришлось отложить пару встреч и несколько дней не брать в руки любимую книгу.
На заметку: не путайте выражения «по хозяйству» и «по-хозяйски». Это совершенно разные части речи, они подчиняются разным правилам и поэтому написание у них не одно и то же.
Сравним.
А) Он распорядился по хозяйству (то есть дал конкретные поручения и рекомендации, касающиеся бытовых дел).
Б) Он распорядился по-хозяйски (то есть властно, взяв на себя ответственность).