Интересующее нас слово является глаголом повелительного наклонения. То есть он обозначает действие, к которому говорящий побуждает своего собеседника. Выражаться это может как приказ, просьба, совет или пожелание, чтобы действие не было совершено.
В повелительном наклонении после согласных на конце глаголов нужно писать мягкий знак, который при образовании нового слова тоже сохраняется перед -ся и -те. Наше слово как раз подходит под это правило, поэтому правильно нужно писать только "ответьте". Слова "ответте" в русском языке не существует. Подобным образом образованы слова: будьте, встаньте, жарьте, спрячьте и прочие.
Вот несколько примеров предложений с правильным написанием слова "ответьте":
Немедленно ответьте на телефонный звонок, вы просто не имеете права игнорировать отца!
Как только у вас появится время, пожалуйста, ответьте на мой вопрос в письме.
Ответьте на вопросы тестов в течение сегодняшнего дня и пришлите результаты по почте.