Определяя при написании слова "не(?)заинтересованность" часть речи, к которой нужно его отнести, мы видим, задавая вопрос "что?" - это имя существительное. Наша задача во время выбора между раздельным и слитным написанием усложняется, таким образом, тем, что имена существительные, употребляющиеся в языке без "не", могут в различных случаях быть написанными как слитно, так и раздельно. Поэтому имя существительное "не(?)заинтересованность", словарный вариант которого будет нам представлен в виде слитного, попадая в разные условия контекста, неодинаково и пишется.
Если в предложении, содержащем имя существительное "не(?)заинтересованность", само качество, сам факт незаинтересованности как бы утверждается, при этом заинтересованность не противопоставляется никакому другому, то "не-" будет являться приставкой, написанной с частью "-заинтересованность" слитно.
Если же в высказывании содержится очевидное противопоставление на основе союза "а" заинтересованности какому-либо другому явлению (например, "не заинтересованность, а равнодушие" или само собой разумеющееся отрицание (например, "вовсе не заинтересованность"), то слово пишется раздельно.
Примеры предложений:
"Личная незаинтересованность Андрея в данном вопросе была ярко выраженной".
"Мы пока видим не заинтересованность, а настрой на неё".