Когда определение правильного написания какого-либо слова (в нашем случае это "на(?)половину") затруднено тем, что оно имеет два неодинаковых, но верных орфографических варианта, то контекстную правильность всегда проверяют при помощи несложного приёма: это попытка вставки между частью, которая может быть предлогом, и основной частью ещё одного слова, подходящего по логике предложения.
Если такая вставка (чаще всего удаётся поместить туда определение) возможна, то писать нужно раздельно. Если между предполагаемым префиксом ("на") и словом ("половину") невозможно что-либо вставить, то пишем слитно.Наш случай рассмотрим на примерах:
"На вторую половину (часа, года, дня)", "на женскую половину (общежития, дома)", "на мужскую половину (бани, работы)", "На ту половину (квартиры, соревнований)". Вставка определений возможна, следовательно "половину" - это форма существительного "половина". Напишем её с предлогом раздельно.
"Наполовину (состоит, полон, наполнен, пуст, опорожнен, погружен, сгнил, убавился)". При слиянии "на" с той же формой существительного, предлог берёт функцию приставки, образуется пишущееся слитно наречие.