Имея в виду слово "по(?)средством", было бы очень легко ответить по поводу его слитного или раздельного написания, если бы не очень похожая на него форма "по(?)средствам", которая отличается от первого предложенного слова не только одной буквой (последней гласной), но и способом написания по принципу "слитность-раздельность". Но произносится абсолютно так же. Верно написать можно только чётко разделяя эти две формы, безошибочно распознавая их морфологическую и семантическую функциональность.
"Посредством" (слитно) пишется, если это управляющий родительным падежом предлог, заменяемый сочетаниями "при помощи" или "с помощью": "посредством общения", "посредством связи", "посредством знаний", "посредством переговоров". Следовательно, писать "по средством" (с "о" в последнем слоге) нельзя.
"По средствам" (раздельно) пишется, если "средствам" - это дательный падеж формы "средства", заменяемый выражениями "по деньгам", "по финансам": "жила по средствам", "вполне по средствам", "не всем по средствам". Таким образом, писать "посредствам" (слитно и с "а" в последнем слоге) нельзя.
Примеры употребления:
"Решение постепенно приходило посредством долгих переговоров".
"Жить по средствам - это не означает жить впроголодь".