Объяснение написания слова "по(?)товарищески" есть смысл построить на небольшом морфологическом анализе данной лексической единицы, которого будет достаточно.
Чтобы определить слово "по(?)товарищески" как часть речи, зададим к нему вопрос: "каким образом? как? - по(?)товарищески". Это, вероятно, наречие. Проверим предположение возможными словами, от которых ставятся вопросы: "отнестись как? - по(?)товарищески", "поступил каким образом? - по(?)товарищески". Да, слово "по(?)товарищески" описывает признаки действий, это наречие.
Следующий шаг - это составления ряда похожих по структуре слов, чтобы выявить возможные орфографические закономерности, которые помогут вспомнить правило. Такие наречия как "по-дружески", "по-людски" и "по-русски" могут напоминать, что "по" - это необычная наречная приставка, пишущаяся в наречиях, заканчивающихся на "-ски", через дефис с остальным словом.
Следовательно, писать "по товарищески" (раздельно) нельзя. Если перед "по-товарищески" находится "не", то "не" и "по" напишем, конечно, раздельно.
Примеры употребления:
"Будьте по-товарищески терпеливыми, чтобы не потерять друзей".
"Это вовсе не по-товарищески - забирать в свою тарелку самое вкусное".