При написании имени существительного "м(М)инистр" необходимо помнить два основных момента: 1) данное написание в любом случае подчиняется общим правилам орфографии; 2) существуют и некие традиционные, иногда идущие вразрез с грамматикой, принципы оформления документации узкой направленности; все эти принципы являются частным случаем, поэтому мы не станем его сейчас описывать подробно, ограничившись общепринятыми правилами, подходящими для подавляющего большинства контекстов.
Слово "м(М)инистр" не является чьим-то именем. Это должность, причём не относящаяся к высшим государственным. В этом смысле, каких-либо серьёзных оснований для использования в середине предложения заглавной буквы "М" нет.
Слово "министр" в сочетании со словами, обозначающими подведомственные ему отрасли (например, здравоохранение, оборона, образование, торговля, наука и так далее) также пишется в середине предложений со строчной буквы.
Примеры употребления:
"Вчера мы узнали, что министр образования предложил доработать четыре пункта закона о школе".
"Сегодня министр финансов был бы не против организовать небольшую пресс-конференцию".