Сочетание "тут(?)же", несмотря на то, что оно представляет собой достаточно устойчивое языковое образование и может нередко выступать в наречном значении, можно перед написанием попытаться разбить на две языковых единицы, из которых оно и состоит, и проанализировать их.
Перед нами возникнут, во-первых, наречие места или времени "тут", в самостоятельность которого мы нисколько не сомневаемся, а во-вторых - частица "же", которая, несмотря на своё семантическое примыкание к "тут", также может встретиться в словаре в виде отдельного слова.
Ориентируясь на правило о правописании "же", мы на примере сочетания "тут же" можем показать, что со словами данная частица не сливается и через дефис с ними никогда не пишется. Поэтому правильным написанием является "тут же" (в два слова). Так же, как и, к примеру, в сочетаниях "здесь же", "там же", "кто же" или "рядом же".
Примеры употребления:
"Тут же, при входе, у нас попросили показать пропуски".
"Опасаясь сильного ветра, я тут же набросила капюшон".
"Он начал первый куплет петь, а мы тут же подхватили".