В слове "четыр(?)мя" (это форма творительного от "четыре"), когда мы его произносим, может при различной индивидуальной артикуляции слышаться как твёрдый, так и мягкий звук "р" перед "м". Понимая, что твёрдый знак (ъ) мы написать, сообразно правилам его использования, не сможем, мы пока сомневаемся и в необходимости постановки мягкого знака (ь). Эту необходимость или её отсутствие попробуем доказать:
В начальной форме ("четыре"), как видим, согласная "р" обозначает мягкий звук, который создаётся благодаря "е". В творительном падеже "е" уже отсутствует, однако мягкий [м’] частично обеспечивает условия для ассимиляции (то есть для уподобления по признаку твёрдости-мягкости) [р’]. Кроме того, корень "четыр" из слова "четыре" как бы продолжает вбирать в себя мягкость [р’] и в форме "четырьмя".
Таким образом, писать "четырмя" (без "ь") нельзя. Правильный вариант - "четырьмя".
Примеры предложений:
"Огромная трибуна, помещённая на воду, была оснащена четырьмя якорями, удерживавшими её по углам".
"Певец выступил с четырьмя своими новыми песнями".