Предположим, что перед нами форма или имени прилагательного, или глагола. Подойдёт и тот, и другой варианты.
Сначала разберём правописание прилагательного. Некоторые непостоянные морфологические признаки слова "син(е?ю?)ю" (в частности, падеж), не являющиеся, как известно, для прилагательных самостоятельными, а вытекают из подобных признаков существительного, к которому форма "син(е?ю?)ю" относится, на нужно обратиться к контексту и задать вопрос к нашему слову.
Если схема будет такой: "какую? - синюю", то это означает, что мы сталкиваемся с винительным падежом, и в окончании необходима буква "ю". Например: какую? - "синюю книгу", "синюю птицу".А форма с окончанием "-ею", тождественным "-ей", возможна, хотя и менее распространена, при таких признаках: творительный падеж (равноценно форме «синей»), единственное число, женский род. Например: какою? - "синею акварелью", "синею тетрадью".
И, наконец, редчайший вариант с глаголом "синеть". При образовании формы 1-го лица единств-го числа получается в настоящем времени "я синею". Ударение, переместившись на анализируемую букву, создаёт отчётливость в этом месте.