При выборе одной из безударных гласных в слове «увид(е?и?)мся» мы должны сначала сосредоточиться на том, к какой части речи оно принадлежит. Задав вопрос "что сделаем?" и удостоверившись, что это глагольная форма, мы поймём, что проблемная гласная находится в составе безударного окончания, и нам нужно будет написать "-ем" либо "-им".
Для того, чтобы верно писать безударные глагольные окончания, мы обязаны опираться на неопределённые формы данных глаголов, чтобы с их помощью правильно определять спряжения, после чего делать выбор букв. Глагол «увидеться» - это и есть инфинитив, искомый нами.
Отбросив на время приставку "у-", благодаря которой была образована новая неопределённая форма, мы увидим глагол "видеться" (без постфикса - "видеть"), характеризующийся как одно из исключений, принадлежащих ко 2-му спряжению. Наряду, например, со "смотреть". Приставка "у-", не меняющая, конечно, спряжение, не изменит и гласную в окончании. В личной форме "видим" это "и", следовательно и в «увидимся» также "и".
Писать "увидемся" (с "е") нельзя.
Примеры предложений:
Мы увидимся не сейчас, а через четыре часа.
Давайте увидимся и позанимаемся по теме глагольных наклонений.