Во время написания слова "по(?)греться" для нас крайне важно правильно определить часть речи, к которой оно относится. Задав к нему вопрос "что сделать?", мы уже не сомневаемся, что "по(?)греться" - это глагол. Выбирая для этого слова слитное или раздельное написание с "по", мы можем пойти по ложному или верному пути анализа.
Сначала в нескольких словах опишем неверный путь, чтобы предостеречь от него. Нельзя рассуждать так: поскольку в русском языке есть глагол "греться", мы сочтём "по" за предлог и напишем его раздельно.
Верный ход мыслей таков: перед глаголом не может в предложении находиться какой-либо предлог. Это своеобразная орфографическая аксиома. Сомнению она не подлежит и в тех случаях, если глагол "греться" присоединит к себе и какие-либо другие приставки. Прогреться, перегреться, согреться, пригреться - все эти слова должны быть написаны слитно со своими начальными частями, хотя они внешне и похожи на предлоги.
Примеры предложений:
Трофим забежал в избу, чтобы немного погреться возле печки.
Девушка решила погреться чаем, после чего ей стало значительно теплее, и настроение у неё улучшилось.