Кружок
Имеет значение геометрической фигуры.
Для верного ответа на заданный вопрос необходимо определить, в какой части слова находится сомнительная буква.
Круг — корень (согласные "Г" и "Ж" имеют свойство чередоваться в приведенной морфеме: берег — бережок).
Значит, часть, которая вызывает у нас вопросы, является суффиксом.
Обращаемся к правилу русского языка: в случаях, когда суффикс или окончание следуют прямо за шипящими звуками, в ударном положении необходимо писать "О". Например: бельчонок, галчонок, пучок. В остальных случаях — "Е" (вещевой).
Исключений существует, но под данное правило попадают только две части речи: имена существительные и прилагательные.
Запомним также и шипящие: Ж, Ш, Ч, Щ.
Кружек
Слово "кружек" имеет право на существование. Это существительное в Родительном падеже, обозначающее посуду для питья. Корень тут "кружк", ударение падает на первый слог, а значит, пишем "Е".
Примеры употребления в составе предложений:
- На альбомном листе был нарисован кружок с непонятными символами внутри;
- В поход мы взяли 6 алюминиевых кружек.