При написании слова "не(?)выгнав" мы делаем первый шаг его анализа, заключающийся в определении его части речи. Если правильно это сделаем - то предварительный вывод о том, писать "не(?)выгнав" слитно или раздельно, будет уже готов.
Итак, задаём к "не(?)выгнав" вопрос. Он прозвучит как "что сделав?". Это вопрос, характерный для деепричастий - слов с семантикой дополнительного действия.
Независимо от грамматической характеристики времени (например, "не(?)выгнав" или "не(?)выгоняя") деепричастия в подобных условиях, то есть вне контекста устойчивого оборота, нужно писать с "не" раздельно. Получается, что "не" - это не приставка, а отдельная отрицательная частица, которая может быть при слове "выгнав", но может её и не быть.
Поэтому сложно придумать какой-то фразеологизм с традиционно нестандартным написанием, в котором бы сочетание "не выгнав" было бы написано в одно слово.
Отделяйте "не" от "выгнав" всегда, без анализа всего высказывания.
Примеры предложений:
"Николай, не выгнав из системы отопления как-то попавший в неё воздух, получил зимой проблемы с этим".
"Не выгнав из своего дома воров и хамов, достигнуть спокойствия не получится".