При написании слова "в(?)тройне" мы встречаемся с интересным грамматическим явлением, при котором некое языковое образование при различных складывающихся семантических обстоятельствах может выступать как в роли одного слова, как и в функции сочетания слова с предлогом. В зависимости от этого и выбирается орфография, то есть слитное или раздельное написание становится в разных предложениях корректным.
Если мы видим, что слово "в(?)тройне" находится в высказывании, отвечая на вопросы "каким образом? сколько? насколько? как?", в роли наречия, имеющего значение "втрое, в тройном размере, в три раза больше", то написание его будет слитным - "втройне".
Если же мы увидели, что слово "в(?)тройне" представляет собой в высказывании не что иное как форму предложного падежа существительного "тройня" в сочетании с предлогом "в", то корректное написание станет раздельным. Напомним, что это слово уже не будет наречием и ответит на вопрос "в чём?" или "где?".
Примеры предложений:
"Наташе стало втройне интересно, куда Маша поедет в августе". "Втройне" - наречие.
"Один ребёнок в тройне оказался очень похожим на дедушку". Сочетание "в тройне" можно заменить на "из тройни".