При написании предложно-падежного сочетания "по(?)полям" нельзя не заметить его несомненное фонетическое единство. Данный факт, а также возможный обстоятельственный вопрос "где?", могут привести к тому, что пишущему иногда хочется избрать слитный вариант - "пополям".
Если разложить сочетание "по(?)полям" на два отдельных элемента и проанализировать каждый из них, то окажется, что "по" - это предлог, после которого можно поместить перед формой "полям" какое-либо определение. При этом получится, например, "по широким полям", "по бескрайним полям", "по просторным полям" или "по зелёным полям". Второй шаг - это определение части речи, к которой относится словоформа "полям". Это, безусловно, имя существительное "поле" в форме дательного падежа, которое, как мы уже заметили, не теряет в сочетании "по полям" полной самостоятельности.
Таким образом, пишется "по полям" (раздельно).
Примеры употребления:
"Мы по полям поедем", "он по полям шагал", "по полям ходили", "по полям да по дорогам", "гуляли по полям".
Для справки: сочетание "по полям" орфографически сопоставимо с такими как "по лесам", "по степям" или "по лугам".