Падежное (предложно-падежное) сочетание "при(?)смерти", которое мы в очень многих случаях, когда ударение падает на первое "и", воспринимаем как устойчивое, выполняющее функции наречия, часто принимается за одно слово, то есть за некое сращение предлога "при" с именем существительным "смерть" непосредственно в форме предложного падежа. Возникает мысль о слитном написании.
Однако, если внимательно проанализировать употребление существительного "смерть", то мы обнаружим не только то, что форма "смерти" не является застывшей", но даже и сочетание "при смерти" употребляется в несколько различных значениях, при этом перемещение ударения с предлога "при" на первую корневую гласную "е" напоминает о подвижности сочетания.
Из-за полной самостоятельности как предлога "при", так и существительного " смерть", слитное написание ("присмерти") невозможно, оно является ошибочным. Так же, как и, например, нельзя писать слитно сочетания "в агонии" или "на одре".
Примеры употребления:
"При смерти одного из раненых сестра Наташа громко заплакала".
"Он, даже и при смерти находясь, всё пытался шутить и вспоминал какие-то лирические стихи".