Слово "даже" - это частица усиления акцента на семантике какого-то слова или нескольких слов. Обычно работу слова, не имеющего глубокой самостоятельной семантики, в такой функции называют модальностью. Несмотря на привнесение в предложения словом "даже" определённой экспрессивности, характерной для многих вводных слов, в списке классических вводных оно не значится. Запятые в подобных случаях не нужны: "пришёл даже он", "она даже и не думала".
Интересна функциональность слова "даже", находящегося непосредственно перед союзами в сложноподчинённых предложениях. Данная частица как бы удваивает смысловой акцент на ту часть предложения, которую помогает подсоединить к предыдущей. В таких случаях перед "даже" (то есть перед соответствующей частью предложения) ставят запятую, а после "даже" (то есть перед союзом) знаки препинания отсутствуют. "Даже" и последующее союзное слово находятся в тесной связке, которую нет смысла разрывать интонацией или запятой: "Они приедут, даже если пурга начнётся", "Она улыбалась, даже когда ей было невесело".
Читайте по теме: Список вводных слов, которые всегда выделяются запятыми, смотрите здесь. Список ложных вводных слов, которые при всем желании не следует выделять запятыми, можно увидеть тут.
Слово "даже" и само может принять на себя роль союза. Перед ним тогда стоит запятая, после него её нет: "В квартире было прохладно, даже холодно".