Предложенные грамматические формы - "последнею" и "последнюю" - относятся к имени прилагательному "последний" (это его начальная форма). Если парадигматически взглянуть на женский род прилагательного "последний", то именительный падеж - это форма "последняя".
Её мы и должны склонять по падежам, чтобы понять, являются ли верными с точки зрения грамматики формы "последнею" и "последнюю". Может быть, одна из них не относится к корректным, или обе нормативны, но в различных контекстах."Последнюю". Например: "Изменив в последнюю минуту все свои планы, мы пошли по этой дороге в два раза быстрее". В какую минуту? - в последнюю. Это правильно написанная форма винительного падежа. Она подойдёт как для определений, относящихся к одушевлённым именам существительным, так и к неодушевлённым.
"Последнею". Например: "Идея написать небольшую повесть о своей родной деревне стала последнею творческой мечтою этого писателя". Как видим, во фрагменте предложения "последнею творческой" имеются два варианта творительного падежа прилагательных - и с окончанием "-ой (-ей)", и с окончанием "-ою (ею)". Оба верны.