Сочетание (не) достижения представляет собой союз отрицательной частицы «не» и имени существительного достижения. И это сочетание действительно часто пишут по-разному, поэтому и возникает вопрос, как правильно писать слово (не) достижения.
При обращении к правилам русского языка мы узнаем, что практически любое существительное можно писать с частицей «не» вместе и раздельно. При этом правильность написания зависит от смысловой нагрузки конкретного предложения. Искомое слово подчиняется данному правилу.
Правильный ответ: недостижения и не достижения.
Полные правила правописания существительных с частицей "не" можно прочитать здесь.
Чтобы написать слово не достижения раздельно необходимо выполнение одного из условий: противопоставление с союзом «а», либо наличие слов, усиливающих отрицание.
Примеры предложений.
Игровые успехи в компьютерных играх вовсе не достижения, которыми стоит гордиться.
При отсутствии данных условий, пишем слово слитно.
Примеры предложений.
Недостежение первого места в общем зачете сильно ударит по престижу нашего университета.