При написании устоявшегося сочетания "что(?)же" мы должны мысленно разбить его на языковые единицы, из которых "что(?)же" состоит, чтобы выяснить, нужен ли дефис между "что" и "же".
Первый элемент - "что" - в нашем случае можно назвать относительно-вопросительным местоимением, оно же - и местоименное имя существительное, способное указывать на какое-либо явление или предмет.
Второй элемент - "же" - ни что иное как частица. Это слово служебное, самостоятельной семантики (имеется в виду знаменательность) в нём нет, но при этом "же" не присоединяется, по современным правилам, к каким-либо другим словам, находясь от них на расстоянии пробела. Раздельно.
Думается, "что же" в сочетании с любыми глаголами, существительными или местоимениями ("что же ты", "что же сказать", "что же она", "что же делать") не станет исключением, какого-то смыслоразличительного написания "же" со словами не существует. Дефис не нужен. "Что-же" писать нельзя.
Примеры употребления:
"Что же вы так долго не приходили-то к нам?".
"А если будет шторм, что же тогда нам делать?".
"Что же касается математики, то она у нас четыре раза в неделю".