Имя существительное "спорт(и?ы?)нвентарь" содержит в себе, как мы понимаем, два элемента. После первого ("спорт-") мы слышим достаточно отчётливо гласную "ы", и данное обстоятельство заставляет нас подумать о том, что и при написании также возможна гласная "ы".
Кроме того, вспоминается и правило, по которому после любой русскоязычной приставки, которая заканчивается согласной, не являющейся шипящей буквой, начальная корневая "и" должна замениться на "ы". То есть произношение, о котором мы упомянули, начинает полностью соответствовать написанию.Однако, несмотря на то, что элемент "спорт-" в слове "спортинвентарь" действительно похож на приставку или префиксоид, на самом деле это просто сокращённое определение, полностью выглядящее как имя прилагательное "спортивный". В результате, если мы посмотрим на сложносокращённое имя существительное "спортинвентарь" полностью", то становится понятным - приставки в нём нет. Следовательно и не применимо правило о замене "и" на "ы".
Поэтому писать "спортынвентарь" (с гласной "ы" после "т") нельзя. Правильный вариант "спортинвентарь".
Примеры употребления:
"Спортинвентарь из магазина", "новый спортинвентарь".