Имя прилагательное "меж(ы?и?)нститутский" содержит в себе достаточно интересное пересечение двух известных правил, влияющих на орфографию данного слова. Причём, первое из этих правил оказывается как бы несколько "сильнее", оказывая давление на другое и формируя во втором правиле соответствующие исключения.
Первое правило - это изменение первой корневой "и" в сторону "ы" при нахождении непосредственно перед корнем приставки, заканчивающейся на согласную.
Второе положение, касающееся слова "меж(ы?и?)нститутский", - это "буква "и" в "жи". После префиксоида "меж-" должна находиться гласная "и", так как "ы" недопустима.
Оказывается, не все конечные приставочные согласные в русскоязычных префиксах способны изменить корневые буквы. Шипящие этого не делают.
Следовательно, в прилагательном "межинститутский" букву "ы" после префиксальной "ж" писать нельзя. Правильный вариант - с буквой "и" в начале корня, сохранённой согласно этому исключению.
Примеры употребления:
"Межинститутский конкурс", "межинститутские соревнования", "межинститутская лаборатория", "межинститутское мероприятие".