Многие при написании личной глагольной формы "прощ(ю?у?)" допускают типичную ошибку, таящуюся в неверном принципе проверки этого слова. Начнём с описания этого серьёзного недочёта:
Сначала задают вопрос: "что сделаю?". Пока ошибки нет, всё верно.
Затем следует ложное утверждение: "Если вопрос заканчивается на "ю", то и в конце самого слова также пишем гласную "ю".
Дело в том, что вопрос-то и не может на "у" заканчиваться, потому что слово "сделау" просто не существует. Но это не говорит о том, что все без исключения подобные формы (1-е лицо, будущее время) буквой "ю" должны завершаться. Поэтому ориентироваться в нашем случае лучше не на общий вопрос, а на конкретное правило. После буквы "щ" в русском языке писать "ю" не принято, сочетание "щю" нехарактерно. Причём, независимо от части речи и от части слова.
Таким образом, выбирая не "щю", а "щу", мы напишем только "прощу".
Писать "прощю" нельзя.
Примеры предложений:
"Никогда не говорите "Я тебя не прощу", не разобравшись, в чём дело".
"Лучше простить, чем долго говорить "прощу".
Для справки: подобно напишем "отомщу", "оснащу", выращу".