Правильно пишется «неотъемлемый», это единственно верный вариант написания слова.
Вспоминаем правило разделительного твёрдого знака: «ъ» пишется перед стоящими в начале корня «е», «ё», «ю», «я» после приставки, оканчивающейся на согласную.
Почему мы выбираем орфограмму «ъ»? Разобрав слово по составу, мы получаем «не» - приставка, «отъемл» - корень, «ем» - суффикс, «ый» - окончание. Филологи считают, что приставка «от» с течением времени слилась с корнем, таким образом разделительный твёрдый знак, когда-то бывший на стыке морфем, оказался внутри корня. Есть и другой пример подобного языкового явления: всеобъемлющий.
Примеры в устной и письменной речи:
- Неотъемлемым атрибутом новогоднего празднования стала ёлка с мерцающими гирляндами на ней, красиво упакованные подарки и запах мандаринов в доме.
- Острое чувство справедливости было неотъемлемой частью его натуры, за это его любили друзья и уважали коллеги.
- Единственный сын умершего имел неотъемлемое право на наследство.