Твёрдый знак в современном русском языке не выполняет никаких функций, кроме разделительной. Мягкий знак, помимо такой же функции (пьют, курьер, живьём), является показателем грамматической формы слова (товарищ, молодёжь, мышь) и служит для обозначения мягкости (конь, цель, тень).
Существует несколько случаев, когда после согласных и перед буквами «е», «ё», «ю», «я» следует писать твёрдый знак. Самый распространённый вариант: написание твёрдого знака перед корнем после приставок (в том числе иноязычного происхождения), которые имеют на конце согласный звук: разъяснять, объехать, предъюбилейный, сверхъяркий.
Но в нашем случае прилагательное «предэкзаменационный» имеет приставку пред- и корень -экзамен-, начинающийся с гласной «э». Поэтому твёрдый знак в этом слове писать не нужно.
Примеры предложений.
Вдруг прямо перед входом в аудиторию меня охватила предэкзаменационный страх.
Несмотря на мой бодрый предэкзаменационный настрой, я получил неудовлетворительную отметку.
Предэкзаменационная подготовка включает в себя несколько этапов.