При написании устойчивого выражения "на(?)днях" мы видим его как сочетание, представляющее собой, во-первых, единое орфоэпическое слово, а во-вторых - не редко как один член предложения, который может другими словами обозначать следующее: "через несколько дней", "через некоторые дни", "в ближайшем будущем", "в скором будущем" и так далее.
Все эти слова в предложении могут отвечать на один-единственный вопрос - когда? (или в какое время?). Всё это говорит о том, что перед нами находится обстоятельство времени, подчёркивающееся соответствующей линией и играющее соответствующую синтаксическую роль.Всё вышесказанное напоминает о том, что не все обстоятельства являются одними словами - они могут быть сочетаниями. В случае с "на днях" - точно также. Написание "наднях" указывало бы на то, что слово "день" или "дни" полностью теряло бы самостоятельность, а этого не происходит. Верно писать - "на днях".
Примеры предложений:
На днях один из известных писателей представил целых пять глав, написанных им за один день.
Администрация, пообещала новое расписание вывесить на днях.