При образовании сочетаний «на этой (следующей) неделе(и)» мы встречаемся с затруднением в окончании с именем существительным "неделя". Поскольку мы точно не знаем, в каком падеже нам нужно представить слово "неделя", мы должны ориентироваться, в первую очередь на его дополнения "этой" и "следующей".
Для того, чтобы выбрать нужные грамматические формы между различными косвенными падежами, нам потребуется предлог "на". Он-то и должен подсказать по своим характерным для него смысловым и падежным вопросам, что наше словосочетание, носящее согласовательный характер, приобретает форму предложного падежа. Для него корректно окончание и в форме "недели". То есть писать мы будем "на этой неделе" и "на следующей неделе", таким же образом мы напишем "на предыдущей неделе" или "на прошлой неделе". Формы слова неделя с окончаниями "и" неправильны.
Читайте по теме:
Список слов, которые всегда выделяют запятыми
Список слов, которые ошибочно выделяют запятыми
Примеры предложений:
На этой неделе Катя, с закадычной подружкой Наташей, вместе прогуляли урок рисования, за что и получили замечание.
Три мальчика на следующей неделе запланировали туристический поход с ночёвкой, к сожалению, не согласовав его с родителями.