При написании слова "кое(?)что", несмотря на то, что оно прекрасно всем известно, всё равно по привычке мы определяем часть речи, вспоминая, к какой именно данное слово относится.
Частица "кое", которую иногда относят и к своеобразным приставкам, является значимой частью всего слова, которая при сочетании с местоимением "что" образует особую семантику, в результате которой новое образовавшееся слово характеризуется как неопределённое местоимение.
То есть мы, используя такое местоимение, не говорим конкретно, о чём идёт речь, а просто указываем, как бы намекаем на то, о чём хотим рассказать в высказывании.Это слово ("кое-что") не может быть написанным раздельно, потому что "кое" пишется со словами через дефис, если между этой частицей и самим словом не будет помещён предлог, говорящий уже не о начальной, а о косвенной форме.
Таким образом, используя в письменной речи слово "кое-что", нам необходимо запомнить, что дефисное написание (то есть с чёрточкой после "кое") возможно и нужно лишь в именительном падеже или в любом другом падеже, но если косвенная форма не содержит в середине себя какой-либо предлог, отрывающий "кое" от основного слова-местоимения.
Примеры употребления:
"Кое-что Иван мог сделать прямо сейчас, но это было только начало огромной работы".
"Кое во что Пётр отказывался верить, но своих сомнений никогда не высказывал публично".