Сочетание "по большой части", которое, как мы сможем увидеть, часто является устойчивым, играет в предложениях роль наречного выражения. Синтаксически выражение "по большой части" является соединённым со всей остальной частью высказывания, поэтому входит в его синтаксический состав и отвечает на вопросы обстоятельства, являясь этим членом предложения.
Не станет исключением, когда обстоятельство "по большой части" не будет в предложении отмечено ни запятыми, ни какими-то другими знаками препинания, если не находится на самом стыке двух отделённых друг от друга частей. Отсутствие запятых является более частым, чем их присутствие.
Тем не менее, если сочетание "по большой части", находясь, например, в самом начале предложения, играет не обстоятельственную функцию, а как бы входит в образ своеобразного вступления и имеет значения, близкие к "в основном" или к "большинстве случаев", то оно может обособляться и вне присоединительных оборотов, хотя и нечасто.
Примеры употребления:
"Порой и даже по большой части Иван Аркадьевич имел дело только с близкими соседями и некоторыми из родственников".
"По большой части, лица их были радостными". Такую запятую можно, наверное, назвать авторской.